somme des inverses des coefficients binomiaux

Bonjour, Soit la suite définie pour tout par : Démontrer que cette suite converge et préciser sa limite. D'après le lien donné par Razes, s'il y a une limite elle vaut 2. &\le2+\frac2n+\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\tag9\\ $$ Prenons : Après une rapide étude de la fonction je trouve le maximum de la fonction donc un majorant : Si : alors comme n est non nul puisque supérieur à 3 : On a donc : Mais ici je bloque un peu car cette inégalité je vois pas comment l'appliquer et à qui car j'ai des factorielles ... @Ramanujan : Tu as dit toi-même que les coefficients vont en croissant jusque donc si tu as certainement . Mais l’autre but de cet article est de montrer comment trouver une autre expression de sommes utilisant des coefficients binomiaux par calcul ou par dénombrement. and finally Word for: "Repeatedly doing something you are scared of, in order to overcome that fear in time", Printing a heartbeat (heart star) animation. Si tu as un résultat en majorant fais-le ! What does $\lim \limits_{n\rightarrow \infty }\sum \limits_{k=0}^{n} {n \choose k}^{-1}$ converge to (if it converges)? Nous allons utiliser une démonstration ensembliste utilisant les dénombrements et cardinalités. This elementary approach, based on the fact that the sum of two consecutive reciprocals of binomials is the reciprocal of a binomial times a factor is really nice! J'ai des doutes sur la croissance de la suite. $$ Exprimons donc en la développant l’expression de (1+x)2n. Hard summation involving binomial and quadratic, Upper bound on sum of binomial coefficients, Identity of binomial coefficients with a series, Convergence of partial sums and their inverses, Combinatorial identity with binomial coefficients, Multiple sum involving binomial coefficients, Proving Binomial identity involving algebraic expression, Bounding limit of sum of binomial coefficients. S_n=\frac{n+1}{2^n}\sum_k{n+1\choose 2k+1}\frac1{2k+1}\left[z^{2k+1}\right]_{0}^1, En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies, pour réaliser des statistiques et vous proposer des offres et services adaptés à vos besoins. D'accord Luzak j'ai du faire une erreur de calcul. @Arturo: My guess is that $C_n^k$ is meant to be $\binom{n}k$, with the subscript and superscript interchanged for some reason. $$ 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} S_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}^{-1}=(n+1)\int_0^1u_n(x)\mathrm dx,\quad u_n(x)=\sum_{k=0}^nx^{n-k}(1-x)^k. $$ Merci de me l'avoir signalé. Comme c'est un calcul que je n'arrive pas à comprendre pourriez vous m'aider en rétablissant si besoin la bonne écriture dans la 5ième ligne ou me donner une indication. En déduire une expression simplifiée de Yn k˘1 cos µ a 2k pour tout n 2N⁄. You may use these HTML tags and attributes: Je pense qu'une erreur s'est glissée dans la ligne : Finding $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n { n \choose k}^{-1}$. }$ \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ $$. $$ &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ rev 2020.11.17.38013, The best answers are voted up and rise to the top, Mathematics Stack Exchange works best with JavaScript enabled, Start here for a quick overview of the site, Detailed answers to any questions you might have, Discuss the workings and policies of this site, Learn more about Stack Overflow the company, Learn more about hiring developers or posting ads with us. }$, $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! Thus, for $n\ge4$, \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} k se lit de gauche à droite sur la n-ième ligne en partant de 0 jusqu'à n.. Devenir fort en Maths pour intégrer une prépa scientifique. \end{align} Donc si : Alors : Ce me bloque il faut montrer qu'il est plus grand que 2 ou plus petit que je ne vois pas comment faire. Is $C^{i}_j$ meant to be the binomial coefficient $i$ choose $j$, $\binom{i}{j}$, or a constant $C_n$ raised to different powers? salut pour simplifier je note b(n, k) le coef bin ... avec 0 =< k =< n b(n, 0) = b(n, n) = 1 et pour 0 < k < n : b(n, k) > n/2 <=> 1/b(n, k) < 2/n donc u(n) =< 2 + (n - 2)2/n bon c'est insuffisant  ... donc reprenons : b(n, 0) = b(n, n) = 1 b(n, 1) = b(n, n-1) = n et 1 < k < n - 1 => b(n, k) >= n(n - 1)/2 <=> 1/b(n, k) =< 2/n(n - 1) et c'est fini ... Oui carpediem c'est fini (encore qu'il faille tenir compte des inégalités de ce genre) mais IL refuse d'utiliser qu'il ne sait pas démontrer. macOS Big Sur creates duplicate versions of files. Now changing integration variable $x = \frac{1}{2} + u$: Stack Exchange network consists of 176 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} 2^{2k-n-1} \left(\left((2 n+1) \binom{n}{2k-1}-\binom{n}{2k}\right)+\binom{n+1}{2k}\right) \underbrace{\int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} u^{2 k}}_{\frac{1}{4^k} \frac{1}{2k-1}} \\ Définition Comme son nom l'indique, la fonction inverse associe à chaque nombre de son ensemble de définition une image qui correspond à l'inverse de ce nombre, elle est définie par la formule: f(x) = 1 x Ensemble de définition @darijgrinberg: $\left|\frac1{n-k}-\frac1n\right|=\frac{k}{n(n-k)}\le\frac{n^{1/3}}{n(n-n^{1/3})}$ because it's biggest when $k$ is. En effet, la condition sur les indices i,j>0 et i+j=n se traduit par un seul indice i variant de 0 à n et on remplace j par n-i. Bonjour Ramanujan, Appliquer le théorème célèbre de la convergence : Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente. It only takes a minute to sign up. En fait il n'arrive pas à voir que car il a admis (je ne crois pas qu'il arrive à le démontrer) que. luzak re : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:57 Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). Désolé, votre version d'Internet Explorer est, re : Somme des inverses des coefficients binomiaux, Familles numériques sommables - supérieur, Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes - supérieur. 26 $\begingroup$ How to ... Limit of a Sum with Reciprocal Binomial Coefficients. En effet Cji est nul quand on n’a pas 0≤i≤j, par convention. Therefore, for $n\ge4$, Les fonctions - cours de seconde Fonctions de réference fonction inverse. The determination of the limit is direct, keeping only the first and last terms and bounding the others. &=\overset{\substack{k=0\\k=n\\\downarrow\\[3pt]\,}}{2\vphantom{\frac2n}}+\overset{\substack{k=1\\k=n-1\\\downarrow\\[3pt]\,}}{\frac2n}+\sum_{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}}\tag8\\ Il faudra sans doute faire une refresh de la page. Tu es sur la bonne voie mais il faut faire un cran de plus : et essayer de majorer la somme (majore chaque terme par et la somme par   ). Récurrence ? $(2)$: Binomial identity: $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09). &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k-n-1} \left((-1)^k \left((2 n+1) \binom{n}{k-1}-\binom{n}{k}\right)+\binom{n+1}{k}\right) u^{k} \\ \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Si elle  est croissante   tu cherche un majorant ; Si elle est décroissante tu cherche un minorant. When interested in the limit only, just observe that for $2 \leq k \leq n-2$, we have What happens to where umbilical lines are connected when a rocket lifts off? En fait je pensais à un encadrement et utiliser le théorème des gendarmes : je voulais poser : et voir si cette fonction est croissante ou décroissante sur afin de majorer la somme. $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} = 2.$$, Here is a method that I just came up with in chat site design / logo © 2020 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under cc by-sa. Au passage, et surtout parce que nous allons l’utiliser ci-après… Un petit mot sur la formule du pion. Tout ça pour "découvrir" qu'une famille symétrique par rapport à varie en sens contraire sur les entiers séparés par . [Produit des coefficients binomiaux ♪♪] (ind)On définit la suite (un)n˚1 par un ˘ˆˆ n Et en plus je ne vois pas ta démonstration de : tu apprendrais plus en le faisant que de recopier ad nauseum des résultats lus ici ou là. If you distribute GPL-code as non-GPL, can the receiver redistribute it as GPL? $$ Asking for help, clarification, or responding to other answers. What tools are there to investigate why my FICO score would have dropped significantly? $$\frac{1}{\binom{n}{k}} \leq \frac{1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n(n-1)}.$$ What is the best way to convince clients to send original image files instead of screenshots of images? ben tu y mets des inégalités larges là où il faut ... et c'est on ne peut plus limpide ... luzak : oui bien sur !! Summing up, C’est : Nous allons voir comment la formule du pion et la formule de Vandermonde peuvent être utilisées. How can I prevent a computer from turning ON? Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange! (1+x)^n(1+x)^n Remarque : en appliquant l’identité de Vandermonde au triplet (n,n,n) on retrouve cette formule (il faut aussi utiliser Cnk = Cnn-k). $$ $$ What is the Levi-Civita connection trying to describe? Démonstration tirée de cet excellent livre p 456. Cqn-k est non nul uniquement pour n=k. Je comprends pas grand chose. &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ What do I do? Like @Sasha, one starts with a beta representation, namely, Ah, I see; I got the inequality sign wrong. Your email address will not be published. Si l'égalité est vrai sur comment montrer qu'elle l'est sur : On sait que :  . \sum_{k=1}^n{n\choose k}^{-1}=S_n-1=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}{n+1\choose 2k+1}\frac{n+1}{2k+1}-1. @Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses. A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers. On rappelle que les indices dans la notation Cjisont inversés par rapport à la notation avec les parenthèses. Bonjour. $(6)$: $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}$ where $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}$ \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Je pense plutôt à une décroissance à partir de . 11. \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} Remarque : en appliquant l’ident… \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} \frac{1}{\binom{n}{k}} = k \operatorname{Beta}(k,n-k+1) = k \int_0^1 (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x (n-2k+1)!} $$\begin{eqnarray} (2) : d’après la formule du triangle de Pascal. \end{align} &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ The identity was initially discovered using, Calculate sums of inverses of binomial coefficients, cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Sury/sury99.pdf, Question closed notifications experiment results and graduation, Finding sum of $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}^{-1}$, Limit of a Sum with Reciprocal Binomial Coefficients. $$ Des liens pour découvrir. \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} $$ @Luzak Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci : Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à . Ok je vais suivre votre méthode mais une question : Comment savez vous que il faut un "cran" de plus et faire apparaitre la somme de 2 à n-2 et non de 1 à n-1 ? }$ $$ 2 \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} \leq 2 + \frac{2}{n} + \frac{2(n-3)}{n(n-1)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 2$$ &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ Modified the title (note that there is no, $$ Nice proof of (7), but how do you get the $n^{2/3}$ in the numerator in the limit argument? Et maintenant que tu as satisfait ta curiosité concernant un résultat évident, fais les majorations utiles et conclus pour la limite de ta suite. \end{align} Pierre Cazals. \begin{align} &=\frac{2^{n+1}}{n+1}+\frac{2^n}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{5}\\ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) $$ [Calcul d’un produit trigonométrique ♪] (ind)Soit a 2]0,…[. Maintenant je voudrais que tu termines le calcul de la limite de la suite initiale. Je trouve que :   est croissante sur En effet : Ce quotient est supérieur ou égal à 1 pour : La fonction est croissante pour tous les entiers compris entre 0 et et on a donc :   Elle est croissante en particulier pour : Ainsi  :   En distinguant les cas pairs et impairs j'ai montré que : Alors :   Conclusion : est bien croissante sur donc à fortiori sur Par ailleurs : Posons : on a alors : On a : Soit Finalement : Et là je bloque pour montrer que est croissante sur, Y a un problème que je ne comprends pas : je trouve  que est donc décroissante sur Soit :   donc :   Je prends : et Donc Donc :   Si n est pair :   Si n impair : Donc : Finalement : Donc : car f est croissante sur Soit : avec est donc décroissante sur.

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