limite de suite

) En effet, les termes de la suite un=3-1/n se rapprochent de plus en plus de n'importe quel nombre plus grand que 3, par exemple 4, mais 4 n'est pas sa limite pour autant. n ) x�]�$�q�_OQ�9c�ͺ� �´�1��j�滁v���z�N��05n�|W`����tm�7��������YP��E�y��'�&0U_�|�`8�h;&[V2m��雁�&���H���Ȁ]��է�H���a�g��ل��ȇ$�{�0s�ix+��m���)mn�K^xY�^�Hg�ka.�-Y�0N^sMg�ka��;�~��*|�CD �Gs����A�4K�g�!h�޶�`�1ܡq�c$6P�Ba�����c���l�ЃɰAN��(��pS 밃������Q48�ʠ@\/�xϣ �6�!�[P4M� �a@ sd��5I"{pta0�c�P �=u�x���vU��aw �w��s�P0���щ2�+�ڼK+��Z��f�Q�8��q� u=h2d1�'Hr�#�"�$r��s. ) ) N n Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'. ) n u Si une suite admet une limite finie, on dit qu'elle est convergente. - Pour on factorise par n4. et u %PDF-1.3 Prérequis à l'étude des limites d'une suite - Définitions et théorèmes Définition Soit u une suite et l un réel. si, pour tout ouvert O de T contenant l'élément ℓ, il existe un entier naturel N tel que tous les si une suite tend vers l'infini alors son inverse converge vers 0 ; si une suite, de signe constant, converge vers 0 alors son inverse tend vers l'infini. 2 {\displaystyle (u_{n})} → Dans ce cours, nous allons voir la notion de limite qui permet de décrire le comportement d'une suite numérique lorsque ses indices deviennent très grands. ( II ] Limites de suites Définition suite convergente: Soit (n) n u ∈• une suite réelle et l un réel. n On dit qu'une suite réelle admet pour limite un réel ℓ si : On dit également qu'elle converge vers ℓ. Si une suite possède une limite réelle, on dit qu'elle est convergente[1] ou qu'elle converge. {\displaystyle (u_{n})} ( {\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }} c'est-à-dire que toutes les suites extraites Dans ce cas, on factorise le haut et le bas par le terme de plus haut degré du polynôme le plus petit. ∈ Dans un espace métrique, on dit qu'une suite n u s’il existe une suite extraite de ) n alors, De plus, si f est une fonction continue en Si une suite u tend vers +∞ et si une suite v tend vers -∞ alors on ne peut rien dire de la limite de la somme de ces deux suites. ��t�k��,m������R��ߗ��b;Ǭ"���2A����8)��/#i�qn.5\����.��2��T��*VX`��2L����;�L�7ݥ��#Д�:�1h��MvF.�M4g�\�QH#�P;�PW��~2{�v?�ċ���ᷧ�7�� }�M�` ��*�N �^�Oi3Ηq$����� 8�����O �y�I\n���'�I�X��mK�d9l���f������'O�dž) �}�X��u�>8l��b����z%tL�C�=x8*�P;��W����n�����NLg�XN��FPWa�n�[9�ta��4u�#>N@6��p(獩S��b�f��;��W�mP׎�C�V���C�Z��G4zRk炵��(�3u�S�uQ�v��e���P�δ�Tx� �^�@�zᶔ28ˀ7�Y�`���k�EV����jg�A�qDTG�L���O[܎:�fi6����;�Pf*7)��4�q�M�q�w֎�iL�GGO�×�k×�K�g���[´qW��E�l� y c��kG�۞��a2���9�,L�p'c:�kq�q�be����p������mzL�o31���� ��ы���!���q�4Lv�"L�׌3p{\N���Mv�dsG�L5nw�i��)�j ℓ {\displaystyle \mathbb {R} } On retrouve pour les suites complexes convergentes, les mêmes propriétés que pour les suites réelles, exceptées celles liées à la relation d'ordre : la limite est unique, une suite convergente est de module borné, toute suite de Cauchy converge (en effet, ℂ est aussi complet), les différentes opérations comme somme, produit, quotient se transmettent bien à la limite. ( Il faudra être dans un espace métrique complet pour pouvoir dire que toute suite de Cauchy converge. u ∈ ) pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même). N Dans cet article seront présentées d'abord la notion de limite de suite réelle, puis celle de suite complexe et seulement après, quitte à être redondant, celle de limite sur un espace topologique. Si une suite u tend vers un nombre non nul et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u×v tend vers l'infini (le signe du résultat suit la règle des signes pour un produit). ne converge pas. Limites de suites Limites de suites I. Généralités sur les limites de suites 1. ∈ ( n On dit que la suite (n) n u ∈• admet (ou a) l pour limite , ou encore converge (ou tend) vers l, si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Une suite géométrique de raison q admet pour limite 0 si -1�A0v2��ٵ1�̈~{�7�(�WF�:nu��0����2LH>�a���p�=x6��;X`M?� On dit donc qu'une suite u admet une limite finie l si ∀ε>0 ∃n0 tel que ∀n>n0 |un-l|<ε. Si une suite u tend vers un nombre et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u÷v tend vers 0. On en déduit donc que cette suite est convergente. Quand n devient infiniment grand (on dit que n tend vers l'infini), les termes de u se rapprochent de plus en plus du nombre 3 Si une suite u tend vers 0 et qu'une suite v tend vers l'infini, alors on ne peut pas conclure directement sur la limite du produit, N Suite convergente On considère qu’une suite admet une limite l, ou converge vers l, lorsque : tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. ↦ N est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite n � 1. Il faut attendre ensuite 1 600 ans et les travaux de Grégoire de Saint-Vincent pour entrevoir une tentative de formalisation imparfaite, puis le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Si deux suites u et v tendent toutes les deux vers l'infini ou tendent toutes les deux vers 0 alors on ne peut pas conclure directement pour la limite de u÷v : ce sont de nouvelles formes indéterminées. {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} N }�V����,�����tݥ��G�W���T�0y��� �z��ٶU$���Ů�i�������+�G��I���:,~����y������ޜ���#&u}���I�w�+� af�t�[#'m�_ꩫ���2��s�����L��: �I��Al18�up;F�H�-��f��]X#GmO� �Xn� 3P�R�.0p۳�����Bs��F������!�Xe� �m>n{.�A�5~�����Ô�q",�;����t�1ƢF�*7)Ƕ��7�&��k��y�K�:���]Un0 ( Complète ce résultat sur les limites. n Il démontre qu'à chaque étape, cette différence a été réduite de plus de la moitié et c'est ainsi qu'il conclut qu'en continuant indéfiniment le processus on sera aussi proche qu'on le souhaite de l'aire cherchée. Grosso modo, c'est la suite Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u×v tend vers l×l'. ( n Pour que la limite soit 3, il faut que pour tout nombre ε (epsilon) fixé aussi petit que l'on veut, la suite contienne, à partir d'un certain rang, une infinité de termes dans l'intervalle ]3-ε;3+ε[. {\displaystyle u_{n}} f Une suite n'admet pas forcément une limite finie ou infinie. σ valeur absolue de un-l est inférieure à epsilon". , au détail près qu'il ne s'agit plus de valeur absolue d'une différence mais de distance. 燼�T�{�G������(mj7���I�����+�n�97t {���|W��6���0y �����NS���u4��%5"�Bv3������)� �����DAD. N Mais cela ne suffit pas. 1 Seule l'unicité de la limite est conservée. ��j�K[����I�ؖ�r����e�1�);��R�!� u ( Cette section ne traite que le cas des suites à valeurs dans un espace métrique donc à bases dénombrables de voisinages. n u N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ∈ ℓ On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas[1]. Exemple : . L'unicité de la limite est conservée ainsi que la transmission à la limite de la somme et de la multiplication par un scalaire. Nous avons les mêmes résultats pour la limite d'une différence, mais attention, si deux suites tendent vers le même infini, nous ne pouvons rien dire de la limite de la différence des ces suites, c'est également une forme Vous l’attendiez tous, voici le détail des limites des suites géométriques, de premier terme \(u_0 = 1.\). {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} },} L'exemple fondamental d'une suite tendant vers l'infini est celui de l'inverse d'une suite de signe constant et tendant vers 0 : Deux résultats sont assez faciles à obtenir : Certaines suites réelles ne tendent ni vers un réel, ni vers +∞, ni vers –∞. n Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». ( et si On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (i.e. converge vers ℓ si. 1. ����0;��!����̒�%e�%���@&2Q���^�Ɉ�L# $�B"�����˺���4�Ϧ�����SWN�|i�f(�~Q�G����wu��]Y��߽F���t�w�0֗j�����R�uS�~)�T��G���R~��Ԕu�����/˧�*?~rc���v �~(��2�u����~� V��|��w1 ���?��c�Z�O�=�����_�U��/��5Uu�ڪ>0����)m��0pm�j�Tc3&�/�t��_�s��a&?��y�����Ŗ��4�&��l�����C�0�7䫣k�ݪ�/D۶����n.D�b��SA|^����v�e��t��˪����uv�D���iƄ�?/ߥiŇ��c�>=]U_����S�oH +hC��:_u������W��]a�k|���e�ƫ� Inégalité de Bernoulli et limites de suites. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Si une opération existe sur l'espace en question, il faudra qu'elle soit continue pour se transmettre à la limite. D’abord, deux démonstrations de niveau terminale générale (spécialité maths). qui converge vers ℓ. Pour se faire une idée, une valeur d'adhérence est un élément « près duquel la suite passe souvent », c'est-à-dire qu'aussi loin qu'on aille, on trouvera toujours un terme de la suite près de cet élément. ∈ . {\displaystyle n\mapsto 2n+1} N C'est une généralisation de la limite d'une suite complexe, la norme usuelle dans le plan complexe étant le module. ( Cherchant à calculer l'aire du disque ou l'aire sous une parabole, par exemple, il cherche à l'approcher par des aires de polygones et observe alors la différence entre l'aire cherchée et l'aire du polygone. ℓ Comparaison graphique de nombres dérivés, 6. ), c'est-à-dire que les ensembles (infinis) d'indices des suites extraites utilisées aient pour réunion l'ensemble des naturels. ) C'est le cas, par exemple : On démontre que les opérations sur les suites convergentes se transmettent à leurs limites pour peu que l'opération ait un sens. On dit que la suite ) N +∞×(+∞) fait : -∞ 0 1 +∞ on ne peut rien dire. On dit que c'est une forme indéterminée. , N Toutes les définitions précédentes se rejoignent dans la définition de la convergence dans un espace topologique. ) ( n alors << /Length 5 0 R /Filter /FlateDecode >> - Pour on factorise par n3. {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto \sigma (n)} On remarque qu'il s'agit de la même définition que dans (dans le cas de -∞) à ce nombre. ∈ converge vers n Ensuite, on utilise les règles sur les limites d'une somme et d'un quotient. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». ∀ N ∈ ) ���1~?^f'�Ԟ�݀�߱=�`+���m�� aK��2�� �hd˵MXCn�ȃބ��MX]�IHb��c�܅PH�6܉*� ͺ�%߀��BGު�@�G�\�f,G�Pi��UI�A,�v�Z1���B)M�k����5��܃�#Խ��D��6�#�a��9l�0�c����[f\{x������������&�UI��������U���f��:-�������Qo^��*Ln4M����4��v�&�XзBٱ��\�>x�f����A�C��|�"��e�:�4�6�O�F������;?_g�r��M��&�f���0Ej �euPU��oR N Équations caractéristiques dans l'espace. ) ( En langage actuel, cela donnerait : D'aucuns pourraient croire que cette interprétation du dixième élément d'Euclide est une modernisation fallacieuse, il suffit pour les détromper de regarder l'utilisation qu'en fait Archimède dans ses méthodes de quadrature. n Dans les Éléments d'Euclide (X.1), on peut lire : « Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée ». Soit ) ( Il y a une forme indéterminée +∞-∞ car et . u u convergent vers l. Dans le cas où E est un espace compact, on dispose même d'une réciproque. est définie alors tandis que ceux de v continuent de monter indéfiniment : une suite peut donc avoir une limite finie ou infinie. ) Certaines suites n'ont pas de limite. ≥ Complète ce résultat sur les limites. ∈ n ) Si une suite u tend vers un nombre non nul et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u×v tend vers l'infini n Ce n'est que dans un espace vectoriel normé complet que l'on pourra affirmer que toute suite de Cauchy converge. C'est la « méthode d'exhaustion ». {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,f(u_{n})} {\displaystyle n\mapsto 2n} Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v (dont les termes ne sont jamais nuls) tend vers un nombre l' non nul alors la suite w=u÷v tend vers l÷l'. n ) {\displaystyle f(u)\rightarrow f(\ell ).}. σ → Elle vérifie donc $\ell=\sqrt{\ell} \ssi \ell-\sqrt{\ell}=0 \ssi \sqrt{\ell}\left(\sqrt{\ell}-1\right)=0$ Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul. Cela se lit : "Pour tout epsilon positif, il existe un rang n0 tel que pour tout n supérieur à n0, la à valeurs dans E converge vers l ∈ E si et seulement si : On voit d'ailleurs bien comment généraliser ce résultat[3] : il suffit que les images des extractrices considérées recouvrent entièrement ℕ (par exemple, ici, 4 0 obj une suite à valeurs dans un espace métrique E. Si ∈ N Si deux suites u et v tendent vers l'infini alors la suite w=u×v tend aussi vers l'infini (+∞ ou -∞). n La limite est -∞ si ∀M<0, ∃n0 tel que ∀n>n0, un0 ∃n0 tel que ∀n>n0 |un-l|<ε (lecture). stream n n ) ∈ n ( est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite C'est le cas des suites définies par les formules un=(-1)n et vn=cos(n). ∈ La limite est +∞ si ∀M>0, ∃n0 tel que ∀n>n0, un>M. n La définition précédente se traduit formellement par : Les propriétés de complétude de ℝ permettent aussi d'affirmer que. n R ℓ u ) Cette propriété est utile pour démontrer la non-convergence d'une suite Si la formalisation de la limite d'une suite vient assez tard, son utilisation intuitive date de plus de 2 000 ans. Si deux suites u et v tendent ver… ) Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans ℝ, par le module dans ℂ, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie. à valeurs dans E : si. + Toute suite croissante et majorée est convergente. 2 u et si ′ f Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite. 3. - Pour on factorise par n2. La notion de limite d’une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d’Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ : le paradoxe d’Achille et de la tortue. u 2. u f Dans un espace vectoriel normé, on dit qu'une suite E N n Méthode, Dans ce cas, on peut essayer de multiplier les deux suites entre elles pour se ramener à un quotient. ∈ , Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite . n n ∈ → Pour qu'une suite u admette comme limite un nombre l, il faut que ses termes se rapprochent de plus en plus de l. Exemples 3÷0- fait : -∞ 0 1 +∞ on ne peut rien dire. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3 TI CASIO II. La valeur absolue de un-l est la distance entre un et l (cacher). Considérons les suites définies par les formules Quand il arrive au point de départ de la tortue, celle-ci a déjà parcouru la distance A/2, Achille parcourt alors la distance A/2 mais la tortue a parcouru la distance A/4, à ce train-là, Achille ne rattrape la tortue qu'au bout d'un nombre infini de processus c'est-à-dire jamais. si une suite converge et l'autre tend vers l'infini, la somme a même limite que la suite tendant vers l'infini ; si les deux suites tendent vers le même infini, il en est de même de leur somme ; si les deux suites tendent vers deux infinis différents, on ne peut pas conclure directement ; on dit alors que l'on a une. n n

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