exercice corrigé espace vectoriel application linéaire

Partie 1 – ( 2 exercices ): Applications Linéaires / Espace vectoriel Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Exercice 11. Prévenez-moi de tous les nouveaux articles par e-mail. Nous proposons des exercices corrigés sur les applications linéaires. 5 0 obj ��y�|r�v�,�)�F�e��s��������G. (Déterminer les dimensions de ℐ ) et de ker( ). 6 0 obj %PDF-1.4 3. endobj Je déteste les spams : je ne donnerai jamais votre email. Montrer que f est un endomorphisme de E. 1. Revenir aux chapitres. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. On trouve. Exercice: On note par $E=\mathbb{R}[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coificients réels. Exercice 7. Soit f de L(E). Exercice 9. $$ Montrer que $g$ est un endomorphisme injectif qui n’est pas surjectif. Déterminer le noyau et l’image de f. Exercice 9. F\G 0 F G ... Soit f, une application linéaire de E dans E. On note C(f), l’ensemble des applications linéaires g de E dans E qui commutent avec f: Exercice 8. Déterminer une matrice associée à une application linéaire. Déjà on a vue que $$ {\rm Im}(g)\subset {P\in E:P(0)=0}. En particulier, on donnes des applications du théorème du rang. �F�F�D�N����WO �hy�/ ����2 6����Ad��eB�φ�k�˘9�bk���:�u���:u � Résumé de cours Exercices Corrigés. Cliquez pour partager sur Twitter(ouvre dans une nouvelle fenêtre), Cliquez pour partager sur Facebook(ouvre dans une nouvelle fenêtre), La plus grande base de données de sujets d'examens et de partiels pour réussir sa licence de biologie, Concentration, Mémorisation, Organisation, Gestion du temps, tout pour réussir vos études. 1. Ce document provient du site exo7. (2) Montrer que Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si vectA= A. Montrer que f est un isomorphisme si et seulement si l’image par f de toute base de E est une base de F . Montrons que $g$ n’est pas surjectif. Objectifs : Savoir chercher une base d’un espace vectoriel, d’un noyau, d’une image. F\G 0 F G ... Soit f, une application linéaire de E dans E. On note C(f), l’ensemble des applications linéaires g de E dans E qui commutent avec f: Soit un espace vectoriel. (3) Montrer que, si A⊂ B⊂ Fet Aengendre F, alors Bengendre F. Montrer que f est linéaire. �`)�N)�Ʒ��ߑ�c�I}�o\��7�B,U:/p/w.�E�[���u�M��%�3?��|=��s (�0N��}#���>6]�����"� �;x�`�H�M����1���Ը��\DC�ϑƏ��Ɲ��O^`�q��"xR�`�j8�����mh�U��oWE �\��g��|�K���8=��߹N|4�M ����s�0�S�8y��3�����( �����YOW|9y����0 ����VE����P��'nMŹmʯ�)��J����]�)��0rYf�Fv�B�w�x.����lx0dY�,�P�X�E�!u�To��� �O���ړ��L 1.Vérifier les 8 axiomes qui font de R3 un R-espace vectoriel. Exercice 6. Exercice 2 Soit E un espace vectoriel normé sur R, F un espace vectoriel sur R et f une application linéaire surjective de E dans F. Pour tout x de F, on pose kxkF = inf{kakE | f(a) = x}. %PDF-1.5 4 5. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer ker(fi) et Im (fi), en déduire si fi est injective, surjective, bijective. Matrices. Xm���K"�����Cj�eI��fK����g� �mdm`�8��e^IcW���x'�,6�E��> k��s^�{���='��A~ýw��3)�.�g=B��Sb�Ѡ%i>��0�CqAhZS���. E par f(x1,x2 )=x1 + x2 . << Donnons maintenant un supplémentaire de $\ker(f)$. 63 0 obj $$ Il est claire que $N$ est un sous espace vectoriel de $E$. Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23. Bravo! Applications linéaires. Ainsi, ~u+~u02V+W.En n, si ~u2V+Wet 2R, il existe des vecteurs ~v2V et w~2W Donner un supplémentaire de $\ker(f)$. >> 1) Montrer que l’on obtient de cette manière une norme sur F rendant f continue si et seulement si Kerf est fermé dans E. 5 0 obj 1. Montrer l’équivalence f est bijective si et seulement si A et B sont premiers entre eux. La résolution donne Ainsi L’inclusion réciproque étant claire, on a établi que et est injective. %�쏢 Revenir aux chapitres. si, et seulement si, Il s’ensuit que est racine d’ordre au moins pour Comme il s’ensuit que On a montré que l’inclusion réciproque étant claire, on a bien montré que Image : On commence par appliquer le théorème du rang : Ainsi et donc comme ci-dessus et est surjective. 954 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application linéaire de E dans F. Exercice 4. 3. Résumé de cours Exercices Corrigés. Il suffit de choisir $$ P(x)=\int^x_0 Q(t)dt,\qquad \forall x\in \mathbb{R}. En utilisant ce formulaire vous acceptez la politique de confidentialité du site. 2. 2. On défini une application (de Dirac en $t_0$) par $$\delta_{t_0}:E\to \mathbb{R},\quad\delta_{t_0}(f)=f(t_0).$$ Montrer que $\delta_{t_0}$ est linéaire. $$ En particulier on a $Q(0)=0$. Corrigés – Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 : 1) Linéarité : Pour montrer que est linéaire, on se donne deux triplets et un réel Montrons que Le crochet de Lie est défini par: [f,g]=fg-gf, où f et g sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel. Exercices sur les déterminants de matrices, Exercices et cours de maths en pdf pour supérieur, Relations d’équivalences et ensembles quotients, Cours suites de Cauchy et exemples d’applications, Exercices corrigés sur les fonctions dérivables, Programme d’algèbre général de semestre 1, Exercices classiques sur les intégrales impropres. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f o g = g o f . ~ �d>��E3��Q.��NTeY�i�c�Ye��GN�6f9[]�$C�u���� ӰGЯކ1������U���ʡ�$�Ro�{M#�e��5^��#M��t�b�h5ޡ�d����{���y�ƽi;|\�\N�W��c�r�Ӕ$ �B؃����{J�t De plus on s’intéressent à la représentation des applications linéaires par des matrices. 4 5. endobj $$. Pour cela il faut montrer que pour tout $Q\in E$ il existe $P\in E$ tel que $f(P)=Q$. <> $$ Inversement, soit $P\in E$ tel que $P(0)=0$. �;��v�/���q�&)L��M��4��Q�kG��\=������CR��*�'Zx��c���,9�j1�=�ossKol7�ز�ð�y�KHa�D��T��ӟo* �.����L�Ϋ�g�,� )��H�[���+/� stream %���� 3. On a \begin{align*}\varphi(P+\lambda Q)&=(P+\lambda Q)’\cr &= P’+\lambda Q’\cr &=\varphi(P)+\lambda \varphi(Q).\end{align*}. Montrons que $f$ est surjectif. Exercice: Soit $E=C([a,b],\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ vers $\mathbb{R}$. que deux éléments ont un sup et un inf. /Length 1579 Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes : (i)Ker f =Im f (ii) f2 =0 et n=2rg(f) Indication H Correction H Vidéo [000943] Exercice 5 Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f … Donc est surjective. Ker(f) = Im(f ). Montrer que, si x appartient à Ker (f) alors, pour tout n de N. Exercice 5. x��Yɒ5��Wԍ*�-�/�0� a��tpqp���8z�{�>�}>�w>��ZK����{.5R*7�|��(a|��'}�]/�p�x��D�a�]�W��^�� �7J�s�������v��[]/^��M�(k(O&A�4܌7�R�c�մYͨ/���,�4�����$q�p��Ο�E����Dq)�7�Zmƿ�1d���Ia�5�C���O��q^+�;�`��_�VI=�� ��=˫(ƲXu� Z�s�w�('�x���f ;T����k�mͱ�uюRy=���a�� J1����r�m"�[r��`�)�8Q#��^�2i]r�W ;��fa�Ki��P;�^�_� l��Fe����\8�o����DK%��H0% )���k��H�c0�.EJ;��,`E3~_$�c���Wٓ��8���H��!R��x�[J������]p�J�+�;�8�����,Bv��!hʉ��q%-H��Lg�F�~D#s ��1�ʳ����/K�j#F��%d�û�û~�����x�]nJ��-��d�M��3�cLc�lçМc����P��K���q�ĩ��I��������R�d*ѾQnl Z^ƒ:����n����e�D���8D((*�:���xu��J�2�d�"�@�A�J_e-携��` ā�L ��y�4��_,��"�@,�Lrf�-:1��⊈Hp?yJ7� Soit une application linéaire de dans , étant un espace vectoriel de dimension avec pair. Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires On étudie la structure d’espace vectoriel et les morphismes linéaires. <> On $P\in \ker(f)$ si et seulement si $f(P)=0$ si et seulement si $P’=0$ si et seulement si $P$ est le polynôme constant. Soit $P\in \ker(g)$, alors $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad \int^x_0 P(t)dt=0. Exercice corrigé matrice et application linéaire. Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2 e véri?ant: Exercice 1. Alors on a\begin{align*}L(f+\lambda g)&=\int^b_a (f+\lambda g)(t)dt\cr &= \int^b_a (f(t)+\lambda g(t))dt\cr &=\int^b_a f(t)dt+\lambda \int^b_a g(t)dt\cr &= L(f)+\lambda L(g).\end{align*}, Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. Nous proposons une sélection d’exercices théoriques et pratiques corrigés sur …, Exercices corrigés sur les sous-suites de nombres réels et application …, Exercices corrigés sur les applications linéaires. Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et $f,g\in E$. c. M^eme question pour f (a+ bi) j 2Rgou a+ bi2C est x e. 1.3.2 Le R-espace vectoriel C. Soit Ele R-espace vectoriel C. a. x��Z]o�6}���ۤ�����H�67A1 �a���N��]��ΥHY���0lkĐtuyu?/�v�;��[K�t8=�={)�`Jq/�d��Q�*VÅ�`Ʈ��?J����T��.��R۲�6R��/_w��.GG��I&��.8����rt�^�n��Z�9�.�S�{�Y�.F�[Rs�%�d�5Q#����)Ix�ޔ�/tݐ���]�;��m� �U2�,Vﴕ$] �"� ��@��4,p�#/�䢮Ye$�F�N�R�b��d�L��Ϣ�y+n&�q{�w?mu�`�Uf��,o�~*kR@�����W���(ܶ����f�]�!I��am�9\������:Xn�b�z���#��9��@���}f$Ɵ���ߛ�������n�?���'hn��t��*����4J/��@̃bxpA�Iӆ��l4�q�(d�#G!��V�6�V�r��lr8�ѭ|�i��I阱��d[$�Ԟ���_�ZH��S�B'x����X��T����]��xnje�,ୌ����� �}m1�4��O���% 4�9e||�i��t�l 4 CHAPITRE 1. Ker(f) inclus strictement dans Im(f). Soit $Q\in {\rm Im}(g)$. Exercice 2 Soit E un espace vectoriel normé sur R, F un espace vectoriel sur R et f une application linéaire surjective de E dans F. Pour tout x de F, on pose kxkF = inf{kakE | f(a) = x}. Soient E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans E. On suppose que Ker (f)n Im (f) = {0}. $$ Il est claire que $P’=Q$ et donc $f(P)=Q$. ��/$PC&h,��tQ�М⾑3àtD}'ʎ��6�e1?w��������Z�|�,^W�Xm��b�t���0Q�Wɓ\�fjX�|���^� t��(@���J�㽋 ?m�h��_��V Exercice 4 Soit E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que l’application $\varphi:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X],$ $\varphi(P)=P’$ est linéaire. Maintenant calculons ${\rm Im}(g)$. f(e1 ) = e1 + e2 , f(e2 ) = e1 – e2 définit une application, montrer que la donnée de f(e3 ) = e1 + e3 est linéaire de E dans E. Ecrire le transformé du vecteur x = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3. stream Espace vectoriel de dimension finie Définitions : • Soit {} xi ∈i I une famille S d’éléments de E. On appelle cardinal de S le nombre d’éléments de S • E est un ev de dimension finie si E admet une famille génératrice de cardinal fini. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes. Si vous continuez à utiliser ce site, nous supposerons que vous en êtes satisfait. x��V͎7��S�V �ъ��c6M�I�:�=�6ݠ�i�]�}��-J�fFr���'��'~T� *������z�}�q�3.���F]n�� )��z���������>(d2QQ����M�U�}_,��X-�O�4���?��1�~��Pd�?�`"���� stream Soit $P\in N\cap \ker(f)$ alors d’après la discussion en haut $P$ est un polynôme constant. ESPACES VECTORIELS 2. P �V��Uo�g���1�jgx{8~���^Tχ��*�0��i�uL�z`�V�Bw�{ Y-k��a �Z���vΎ� UM�r�{=�����C�x/wU��2��8��)����c����^x(�I-k���^"Z��L��������F��hW���Ҍ��5*͍P���|�~Tx(��C�'�4�P*��m��9��M} ka��CiNjY�x�j��99��{̎G�K3�V�boʵ�����D�|�w5 �C Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et un paramètre réel. D’après l’exercice précédent on a $f$ est un endomorphisme. Dire si les applications fi, pour i allant de 1 à 6, sont linéaires. 1.3.1 Le C-espace vectoriel C. a. Montrer que C est un espace vectoriel sur C et sur R: b. R est-il un sous-espace du C-espace vectoriel C? 2. Soit un endomorphisme de tel que 2= ∘ = On pose 1=ker( − ) et 2=ker( + ) 1 Exercices corrigés sur les matrices en … Diagonalisation et trigonalisation. Appliquer le théorème du rang. Ker(f) = im(f). E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectoriel E, on défnit l’application f : E1 × E2 ? Donc n est pas forcément nul et donc le noyau $\ker(f)$ n’est pas réduit a ${0},$ ainsi $f$ n’est pas injectif. D’où $\ker(g)={0}$. $$ En dérive cet intégral on trouve que $P(x)=0$ pour tout $x\in\mathbb{R},$ donc $P$ est le polynôme nul. Nous proposons des exercices corrigés sur les applications linéaires. 2. x��VMs�0��W�|��]I+��G��(�u8��t`�BC���������X�¥$�f�V����ɍvP��6[����Q���5&e���g�::-�+���RJ���:�h������RL�����O�.i���( Sm(h1蔒-�K�u��x�J�$K:XN�@��������.G�Y#�i�Wґ đ��y�q���ܭ�M9B�曈w��� �l�2�p�mVh�as��gK�G�+d�Z�R`U�G�^dk7�����b[x-V����s$��0Eݽ�O�n��:��E$���^GW$��07,�}A,��!��v����FW ����34e.���-ϫ�To���a��c v�u D0_D�� (�9���. 1. D’autre par pour tout $P\in E$ on peut écrire $$ P=(P-P(0))+P(0):=Q+R $$ avec $Q=P-P(0)\in N$ car $Q(0)=0$ et $R=P(0)$ polynôme constant donc $R\in \ker(f)$. ( 4, 5) 4est un sous-espace vectoriel de supplémentaire ( 1, 2, 3) dans ℝ. Allez à : Correction exercice 13 Exercice 14. Enregistrer mon nom, mon e-mail et mon site web dans le navigateur pour mon prochain commentaire. Partie 2 – ( 6 exercices ): Image / Noyau / Sous espace vectoriel / Théorème du rang / Endomorphisme / Application linéaire Corrigés – Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 : 1) Linéarité : Pour montrer que est linéaire, on se donne deux triplets et un réel Montrons que 2) Pour trouver les antécédents éventuels de on résout l’équation On récupère le système, La résolution de ce système se fait grâce au pivot de Gauss. Alors on a \begin{align*}\delta_{t_0}(f+\lambda g)&=(f+\lambda g)(t_0)\cr &= f(t_0)+\lambda g(t_0)\cr &=\delta_{t_0}(f)+\lambda \delta_{t_0}(g).\end{align*}, Soit $\lambda\in \mathbb{R}$ et deux polyômes $P,Q\in \mathbb{R}[X]$. Soient E = Cn [X] et A et B deux polynômes à coefficients complexes de degré (n + 1). /Filter /FlateDecode Soit l’application $$ f:E\to E,\quad f(P)=P’ $$ Montrer que $f$ est un endomorphisme (dérivée) surjectif qui n’est pas injectif. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématiques avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Partiel Algèbre | Endomorphisme – Noyau –... Examen Algèbre | Application linéaire – Base... Video – Exercice + Correction Algèbre – Logique /... Examen Base de Données + Correction | Clé candidate - Clé primaire, Examen Probabilités + Correction | Covariance - Espérance, Comment réviser pour réussir au lycée sans y passer des heures, Exercices Analyse - Équations différentielles + Correction | Equation différentielle homogène associée - Solution particulière, Partiel Programmation | Programmation - Langage C. Ceci implique que $g$ est injectif. Soit l’application $$ g:E\to E,\quad \left(g(P)\right)(x)=\int^x_0 P(t)dt,\quad \forall x\in \mathbb{R}. %PDF-1.4 Montrer que est une application linéaire. Comment choisir t pour que f soit injective et surjective ? Please consider supporting us by disabling your ad blocker. ��)��wP/��[x�6�\7�ѽ� �?�U/��>)�W�݋�^P�����:��0؊ĔGR�~i�9�~�m[ܡP�����Y�Me2���2�1�x�4wI�6x4@���c#-:��)�(q� ��N�q�fs_3�^.��}�9 Montrer que. Comme l’intégral est linéaire, alors $g$ est une endomorphisme. Et puisque $P(0)=0,$ alors $P$ est le polynôme nul. Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 6 1 Daniel ALIBERT Espaces vectoriels. 1) Déjà est non vide car la suite nulle est bien dans, Application mobile gratuite #1 pour réviser en France, Réciproquement, il est simple de vérifier que les suites, On retrouve le résultat portant sur les suites récurrentes linéaires d’ordre, groupe-reussite.fr est évalué 4,8/5 par 600 clients sur. 2.Idem pour une droite Dde R3 passant par l’origine définie par ˆ ax + by +cz = 0 a0x + b0y +c0z = 0. Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors. Alors il existe $P\in E$ tel que $$ Q(x)=\int^x_0 P(t)dt,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. stream 1) Montrer que V(E) est un treillis pour l’inclusion, i.e. Soit $t_0\in [a,b]$. En particulier, on donnes des applications du théorème du rang. Exercice 10. Savoir calculer ) un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et A,B deux sous-ensembles de E. (1) Montrer que, si A⊂ B, alors vectA⊂ vectB. <> Espace vectoriel de dimension finie Définitions : • Soit {} xi ∈i I une famille S d’éléments de E. On appelle cardinal de S le nombre d’éléments de S • E est un ev de dimension finie si E admet une famille génératrice de cardinal fini. Soit l’ensemble $$ N={P\in E: P(0)=0}. 12 0 obj D’où $E=N\oplus \ker(f)$. ESPACE VECTORIEL (FIN) 4 Mini-exercices. Vous en saurez plus en faisant ce problème, issu de X P' 1983, X M'1985 et ENSAIT 1992. Ce site est parfait, merci pour l’aide apportée. f(e1 ) = e1 + e2 , f(e2 ) = e1 – e2 définit une application, montrer que la donnée de f(e3 ) = e1 + e3 est linéaire de E dans E. Ecrire le transformé du vecteur x = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3. Ainsi $$ {\rm Im}(g)= {P\in E:P(0)=0}. Exercice 12. De plus on s’intéressent à la représentation des applications linéaires par des matrices. Or donc Et, et ces deux espaces ont la même dimension, ils sont donc égaux. On remarque que $$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad P(x)=P(x)-P(0)=\int^x_0 P'(t)dt= (g(P’))(x). Montrer que la famille est une base de E. Exercice 3. Exercice 5 Soit Ele R-espace vectoriel R. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E? Partie 4 – ( 2 exercices ): Espace vectoriel / Projecteur / Base / Image / Noyau. Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5 Exercice 20. Exercice 4 : thème et variations sur les sous-espaces vectoriels. Exercice 2. ) un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et A,B deux sous-ensembles de E. (1) Montrer que, si A⊂ B, alors vectA⊂ vectB. Retrouve les corrigés, tous les cours et les annales sur notre application gratuite PrepApp, Pour montrer que est linéaire, on se donne deux triplets et un réel Montrons que. Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires On étudie la structure d’espace vectoriel et les morphismes linéaires. Prévenez-moi de tous les nouveaux commentaires par e-mail. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (a) 2= Remarquons que le polynôme constant $2$ n’appartient pas à ${\rm Im}(g)$ car il n’est pas nul en $0$. Im(f) inclus strictement dans Ker(f). Calculer ${\rm Im}(g)$. Partie 3 – ( 4 exercices ): Injectivité / Surjectivité / Isomorphisme / Vecteur / Application linéaire / Bijective / Polynôme / Division euclidienne / Isomorphisme Soit x appartenant à E tel que. Si E est un espace vectoriel, on note V(E) l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E, ordonné par l’inclusion. Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et un paramètre réel. L'ESPACE VECTORIEL RN: EXERCICES CORRIGÉS Comme V et W sont des sous-espaces vectoriels de Rn, on a ~v+~v02V et w~+ w~02W. Ainsi $N\cap \ker(f)={0}$. Ces fiches sont élaborées, corrigées et validées par des enseignants du supérieur. Ceci montre que ${\rm Im}(g)$ est strictement inclu dans $E,$ et donc $g$ n’est pas surjectif. 1. 1) Montrer que l’on obtient de cette manière une norme sur F rendant f continue si et seulement si Kerf est fermé dans E. Soit E un espace vectoriel de dimension n et une application linéaire de E dans lui-même telle que. *. 1. !����HΥ(Q�`(����E�m?H�!XԻ^�l�Q�� Bҿg����O�cQ�2�1��9�~���*��h6a��2�ߪ꜁O��8��%R���.��^J�|�D���V}9���?���*�N����(1F�#K-Wꤼ�&��hf�ۤ��@�D��ɠGs�1�O���gŚ��پ������~(-(��9�#��BD�|9�0@�B,�+Ȯ�R�MYlV��';�9���춢�]�qS�Fẁq���jV��ĝ�F���/���v^dkÈ���8�b��Ա��v�7���\��B8�g:#�S�ܶ�;�/�7λ\\�}v��_r,���J�mح�O/EĶ`�r������c&0�} 5�*6!M���7@����Mc/��b�G4pQx\�b�B� ����� �X:�D�����&) �\+�����G� R��Ew�HͶ��Ű���w�,��fV3h4Ox� ����́�i�&����"Ϙ+�B�Ҹ��L"9a���=�u�0+�}��6/�ۓY#:�yn�f�'0��e��+S ����2Mӄ������t3H&���I�h1k�w�¡�q:7�����$k1��l��< ��.�W��8c��������e" uI��S����oI�endstream $$ Donc $P=g(P’)\in{\rm Im}(g)$. 2. On défini $$ L(f)=\int^b_a f(t)dt,\quad \forall f\in E. $$ Montrer que $L$ est une forme linéaire. %�쏢 Montrer que ker(f ) et Im(f) sont stables par g. On considère l’application f qui à tout polynôme P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B.

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